Monty Hall 問題是機率論中最著名的悖論 (paradox) 之一，起源於美國電視節目《Let’s Make a Deal》的主持人 Monty Hall。電視節目的遊戲是這樣的: 你面前有三扇門，其中一扇門後面是大獎(例如是汽車)，另外兩扇門後面是小獎(原始節目是山羊)。原始的節目到選完門就結束了，但為了增加刺激感，Monty Hall 會先打開一扇有山羊的門，最後再打開你選的門，看看是否會中大獎。
有讀者提個一個有趣情境。

問題設定:

假設選了一號門。此時主持人有兩個重要的規則限定

1. Monty Hall 知道大獎每一扇門之後是大獎還是小獎。
2. Monty Hall 會從剩下的兩扇門中打開一扇沒有大獎的門(絕對不會打開你選擇的門或者是有大獎的門

若主持人從剩下兩扇門中打開一扇有山羊的門後，假設他打開了二號門。接著他問你：「你要維持原來的選擇，還是換到三號門？」

應該換門嗎?

一般認為因為剩下兩扇門，中獎機率應該是相同的，因此換跟不換中獎機率都是 50%，但實際上換門的中獎率會比較高。主要原因是打開門的行為不是隨機的。如果大獎在第一扇門的情況下，主持人可以選擇打開第二號或第三號門，打開二號門的機率是 50%。但如果大獎在第三扇門情況下，主持人只能打開第二號門(一號門被選了不能開，三號門有大獎不能開)，打開二號門的機率是 100%。因此如果主持人打開二號門，有可能是大獎在一號且主持人50% 的機率打開二號門，或者是大獎在三號且主持人100% 的機率打開二號門。因為大獎在一號或者在三號的機率是相同的，而大獎在三號時，主持人打開二號門的機率比較高，因此給定主持人打開二號門的條件下，大獎在三號門的機率較高，因此換門會增加中獎的機率。

換門中獎跟不換門中獎的機率?

不換門的中獎即為一開始就選中有大獎的門之機率，因此為 1/3 = 33%，而換門中獎跟不換門中獎的機率總和為 100%，因此換門中獎的機率即為 67%。若我們針對遊戲規則作了修正，假設一開始有四個門，若選了一號門後，主持人打開了沒有獎的二號門。此時不換而中獎的機率為 25%，而換門中獎的機率總和為 75%，但因為有兩個門(三號與四號門)可以選擇換，這兩個門的中獎機率是相同的，因此換到三號或者四號門中獎的機率皆為 37.5%。

來練習看看吧!

以下是 115 年台大國企乙的考題，讀者不妨練習看看:
A renowned investment bank in Frankfurt has designed a unique assessment exercise for its graduate recruitment program. The exercise, called the ＂Strategic Selection Protocol,＂is conducted as follows:
Four identical envelopes are presented to the candidate. One envelope contains an invitation to join the prestigious Mergers & Acquisitions team with a guaranteed first-year bonus of euro 150,000. The other three envelopes each contain an assignment to the Operations department with a standard bonus structure. The candidate has no initial information about which envelope contains the M&A invitation. The assessment proceeds in stages:

1. Stage 1: The candidate selects one envelope but does not open it.
2. Stage 2: The managing director, who knows the contents of all envelopes, deliberately opens two of the three remaining envelopes, always revealing two Operations assignments. If the candidate’s initial selection contains the M&A invitation, the director randomly chooses which two of the three Operations envelopes to open. If the candidate’s initial selection contains an Operations assignment, the director opens two of the remaining Operations envelopes (leaving the M&A envelope and one Operations envelope unopened).
3. Stage 3: The candidate is offered the opportunity to either retain their original selection or switch to the other unopened envelope.

Mr. Weber, a candidate from Munich, initially selects Envelope A. The managing director then opens Envelopes C and D, both revealing Operations assignments.
Mr. Weber must now decide whether to keep Envelope A or switch to Envelope B.
If Mr. Weber switches to Envelope B, what is the probability that he receives the M&A invitation?
這是 Monty-Hall 的變化型，一開始有 4 個信封，選了 1 個之後，經理會從剩下的 3 個信封打開 2 個未中獎的信封，因此可換的選擇只有一個。若考慮不換，中獎的機率是 25%; 考慮換的話, 中獎的機率是 75%。