研究所數學

在一個向量空間 V 中，給定一組向量S的生成空間（span）定義為生成空間 = 所有能用 S 中的向量做線性組合得到的向量的集合。如果你把向量當作「方向與長度」，生成空間就是「用這些方向，允許縮放和相加，能到達的所有位置」。

1. 包含零向量（取所有係數都為 0）。
2. 對向量加法封閉。
3. 對標量乘法封閉。

更精確地說：span(S) 是包含 S 的最小子空間。換句話說任何包含 S 的子空間一定包含 span(S)。
生成幾何圖像為1 個向量 → 生成一條直線，2 個線性獨立向量 → 生成一個平面，n 個線性獨立向量 → 生成一個 n 維空間。

1. 找基底
   給你一組向量，先看它們的 span 是哪個子空間，再找出最小的線性獨立子集作為基底。
2. 判斷向量是否可由其他向量生成
   看這個向量是否是它們的 span 的元素。
3. 計算子空間的維數
   span 的基底大小就是它的維度。