研究所數學
離散數學 - 正有理數為可數集
發佈時間：20251016
可數集的重要性很大，因為它是一個數學「無限等級」的分界線，在集合論、數論、分析、電腦科學等地方都會用到。而無限的「分類」如下：
- 無限集合並不全都一樣大。
- 自然數集的大小稱為「可數無限」。
- 實數集的大小稱為「不可數無限」。
- 可數集是最「小」的無限大小，它跟自然數一樣多。
- 正整數、有理數、整數、多項式集合、所有有限字串集合...都屬於可數集。
- 知道集合是可數的，代表它的「無限程度」跟一樣，不會比自然數更大。
- 數論：有理數可數 → 可以用一一對應的編號進行系統檢查與枚舉（如 Farey 序列）。
- 實數分析：實數為不可數，說明有理數在數軸上雖然稠密，但依舊只是「稀疏的無限」，所以幾乎所有實數都是無理數」。
- 集合論：「可數集的可數聯集仍是可數的」是基礎命題，用來建構更多集合的大小性質。
關鍵詞
可數集