在判斷一個生產函數屬於哪一種規模報酬,我們遇到齊次函數通常蠻開心的,遇到非齊次函數,通常就比較麻煩一點,原因如下:-高點研究所
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在判斷一個生產函數屬於哪一種規模報酬,我們遇到齊次函數通常蠻開心的,遇到非齊次函數,通常就比較麻煩一點,原因如下:
作者
劉邦啟
說明
發佈時間:20210507

在判斷一個生產函數屬於哪一種規模報酬,我們遇到齊次函數通常蠻開心的,遇到非齊次函數,通常就比較麻煩一點,原因如下:

生產函數是齊次(請記得,齊次必為齊序

1. 我們想判斷規模報酬的性質,就只需要直接看階次就好。

如果齊次的階次大於1階(n > 1),當函數中的所有自變數同乘上一個數值λ,整個函數值將變成原函數值的λn倍時,F(λL, λK) = λnQ > λQ ,這時候就符合IRS的意涵;
如果齊次的階次等於1階(n = 1),當函數中的所有自變數同乘上一個數值λ,整個函數值將變成原函數值的λn倍時,F(λL, λK) = λnQ = λQ ,這時候就符合CRS的意涵;
如果齊次的階次小於1階(n > 1),當函數中的所有自變數同乘上一個數值λ,整個函數值將變成原函數值的λn倍時,F(λL, λK) = λnQ < λQ ,這時候就符合DRS的意涵;

如果就只講到這裡,要記得這裡就只有「檢查生產函數特性」而已,和最適化分析:成本最小時會如何雇用,一點關係都沒有,完全就只是看生產函數本身的性質而已。

2.如果想知道規模經濟的狀況,那要問的是:「產量增加,長期平均成本到底會怎麼變化」,這就真的要問看看,最適雇用是怎麼隨產量變動而調整雇用的?

舉例來說,如果想要讓產量增加為2倍,最適要素雇用一定要調整才能讓產量增加為2倍對吧!「如果生產函數是齊序」,那你產量增加,要素雇用量「必定是依比例調整」的對吧!

如果是IRS,「因為是齊序生產函數」,所以要產量增加2倍,勞動、資本要依比例一起變動,但是一起增加不用達到2倍,也就是總成本一定上升不到2倍,就可以讓產量變成2倍,那平均成本必定下降了,那就是規模經濟了。
因此:規模報酬遞增IRS ⇄ 規模經濟

如果是CRS,「因為是齊序生產函數」,所以要產量增加2倍,勞動、資本要依比例一起變動,但是一定是一起增加2倍,也就是總成本一定上升恰好為2倍,就可以讓產量變成2倍,那平均成本必定不改變,那就是固定規模經濟了。
因此:規模報酬遞增CRS ⇄ 固定規模經濟

如果是DRS,「因為是齊序生產函數」,所以要產量增加2倍,勞動、資本要依比例一起變動,但是必須一起增加超過2倍,也就是總成本一定上升大於2倍,才可以讓產量變成2倍,那平均成本必定上升了,那就是規模不經濟了。
因此:規模報酬遞增DRS ⇄ 規模不經濟

生產函數是非齊次,或根本沒說是不是齊序

1. 我們想判斷規模報酬的性質,就沒辦法有階次看了,一定要真的去「檢查」。

當函數中的所有自變數同乘上一個數值λ,整個函數值「並不會」將變成原函數值的λn倍,但產量還是會變成F (λL, λK),只要F(λL, λK) > λQ ,這時候就符合IRS的意涵;
當函數中的所有自變數同乘上一個數值λ,整個函數值「並不會」將變成原函數值的λn倍,但產量還是會變成F (λL, λK),只要F(λL, λK) = λQ ,這時候就符合CRS的意涵;
當函數中的所有自變數同乘上一個數值λ,整個函數值「並不會」將變成原函數值的λn倍,但產量還是會變成F (λL, λK),只要F(λL, λK) < λQ ,這時候就符合DRS的意涵;

如果就只講到這裡,要記得這裡就只有「檢查生產函數特性」而已,和最適化分析:成本最小時會如何雇用,一點關係都沒有,完全就是看生產函數的性質。

2.如果想知道規模經濟的狀況,那要問的是:「產量增加,長期平均成本到底會怎麼變化」,這就真的要問看看,最適雇用是怎麼隨產量變動而調整雇用的?

舉例來說,如果想要讓產量增加為2倍,最適要素雇用一定要調整才能讓產量增加為2倍對吧!「如果生產函數非齊序或根本沒說是不是齊序」,那你產量增加,要素雇用量「不需要是依比例調整」的對吧!

如果是IRS,「因為生產函數非齊序」,所以要產量增加2倍,勞動、資本雖然不需要依比例一起變動,但是我們隨便讓要素一起比例增加不用達到2倍,就可以讓產量變成2倍,這時候總成本一定上升不到2倍呢!那麼最有效率的雇用要是比這個還厲害,那總成本一定也上升不到2倍的,平均成本就必定會下降,那就必定是規模經濟了。
因此:規模報酬遞增IRS → 規模經濟

如果是CRS,「就算他沒說是不是齊序,我們也確定知道他一定是齊序,因為CRS本來就符合1階齊次函數的定義了」,所以要產量增加2倍,勞動、資本一定依比例一起變動增加2倍,也就是總成本一定上升恰好為2倍,就可以讓產量變成2倍,那平均成本必定不改變,那就是固定規模經濟了。
因此:規模報酬遞增CRS ⇄ 固定規模經濟

如果是DRS,所以要產量增加2倍,要是你讓勞動、資本依比例一起變動,一定要一起增加超過2倍才有可能達成產量變2倍,總成本就一定上升大於2倍,才可以讓產量變成2倍,這種比例增加雇用,是不是就很沒效率呀!可是!他又沒有說生產函數是齊序,沒有人規定一定要「比例一起增加雇用」才是最適呀!「因為生產函數非齊序」反而少了「必定要比例雇用」的條件了,我們就「不需要」在最適的時候還要一起比例增加雇用了,我們只需要看看,怎麼雇用、雇用哪一種要素可以更有效率,可以用比較便宜的方式達到產量增加為2倍的效果,就照那樣來雇用就好!那麼這時後,產量增加總成本「就沒有一定」會上升到2倍,那平均成本「就沒有一定」會上升了,只要一旦發生平均成本下降,那就帶來規模經濟的效果了,這時候DRS就「有可能」帶來規模經濟了。

綜合以上,IRS因為一定推出規模經濟,CRS和固定規模經濟一定互相推論,如果我們觀察到現在的成本性質如果發生了規模不經濟,唯一的可能就是DRS造成的,因為就DRS的生產特性,可能帶來規模經濟,也可能帶來規模不經濟,但是規模不經濟卻只有可能是DRS造成的。
因此:規模報酬遞增DRS ← 規模不經濟

整理以上的結論:

生產函數為齊序函數時,生產技術和成本特性可以直接互相推論:
規模報酬遞增IRS ⇄ 規模經濟
固定規模報酬 ⇄ 固定規模經濟
規模報酬遞減 ⇄ 規模不經濟

但當生產函數未知是否為齊序函數時,生產技術和成本特性可以如下推論:
規模報酬遞增 → 規模經濟
固定規模報酬 ⇄ 固定規模經濟
規模報酬遞減 ← 規模不經濟

關鍵詞
生產函數、規模報酬、固定規模
刊名
劉邦經濟教室-同學舉手問
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