在此次的專欄中，我將介紹統計學中的常見考題 : 遞迴問題的求解。遞迴問題係指進行一系列的隨機試驗，其中若結果成功則試驗立刻結束；但若試驗失敗則試驗持續進行。若試驗失敗之後，進行下一次的試驗的背景條件與前次試驗的條件相同，則稱為遞迴問題。舉例來說，若持續投擲一公正的六面骰直到出現點數 1 為止，則第一次試驗成功的機率為 1/6 ，但若第一次失敗，則第二次試驗成功的機率仍為 1/6 ，即為每次試驗的條件相同的概念。

遞迴問題可利用下列圖示呈現。

以上述的問題為例，令 X 表示為直到丟出點數 1 為止所需要的試驗次數，並知丟出 1 的機率為 1/6 。若成功則試驗次數為 1 ，但若失敗時，則浪費一次試驗次數之後回到起點。但是回到起點之後，其條件與一開始相同，因此其期望值為原先的期望值再加上 1 ( 失敗的那一次試驗 ) 。因此其計算方式為

移項整理後即可得到試驗次數的期望值為 E(X)=6。

遞迴問題亦可進一步的延伸。例如經典的老鼠出迷宮問題，其問題為老鼠困在迷宮當中，且迷宮有三個出口。若老鼠選到出口 1 ，則花費 3 分鐘後則可離開迷宮；若選到出口 2 ，則花費 5 分鐘後回到原點；若選到出口 3 ，則花費 7 分鐘後回到原點。而一旦回到原點，老鼠會忘記自己第一次選擇的出口是哪一個，亦即每一次回到原點做選擇時，選擇三個出口的機率都是相同的，皆為 1/3 。此問題的圖示如下

令離開迷宮的所需時間為 X ，則 X 的期望值計算方式為

移項整理可得到 X 的期望值為E(X)=15

值得一提的是，雖然列式的過程相當直覺，但其理論基礎為統計學中相當重要的定理「雙重期望值定理」 (law of iterated expectation ， LIE) ，我將會在之後的專欄詳細介紹。