研究所數學

1. 線性相依：判斷向量組中的「重複資訊」
   「線性相依」的向量組就像一個資訊重複的團隊。當一組向量是線性相依時，表示其中至少有一位向量 x_i 可以被集合中其他向量的線性組合所「取代」。
   在數學上，我們透過檢查向量的線性組合是否等於零向量（∑ c_ix_i = 0）來判斷：
   • 相依條件：若在這個等式中，存在至少一個係數 c_i 不等於零 (c_i ≠ 0)，則該向量組為線性相依。
   • 「取代」的本質：這個不為零的係數 c_i 告訴我們，與它相乘的向量 x_i 可以被表達為其他向量的線性組合，因此 x_i 會被取代。線性相依的判斷，正是找出冗餘資訊、為後續尋找最有效率的基底奠定基礎。
2. 線性獨立：構建高效、無冗餘的「基底」
   「線性獨立」是建構向量空間基底 (Basis) 的核心條件之一。一組線性獨立的向量保證了團隊中沒有任何一個向量可以被其他向量取代，每個向量都提供了空間中獨一無二的方向。
   • 獨立條件：若向量組的線性組合等於零向量 (∑ c_ix_i = 0) 時，唯一的解是所有係數 c_i 都必須等於零 (c₁ = c₂ = ... = c_k = 0)，則該向量組為線性獨立。
   • 「不可取代」的關鍵：所有係數 c_i 都等於零，表示沒有任何一個向量 x_i 能透過移項被寫成其他向量的線性組合。因此，這個向量 x_i 不會被取代。

結論：係數 c_i 的值，是判斷向量能否被取代、進而定義獨立或相依的唯一準則。